Liếc gương chiếu hậu bên phải: chiếc xe máy phía sau còn xa, thừa chỗ để tạt vào làn. Bạn đánh lái — và tiếng còi rú lên ngay sát hông. Gương không nói dối, nó chỉ đang báo giá:
Mỗi milimét ra mép gương bẻ tia đi gấp đôi
Mặt gương lồi là một mẩu mặt cầu bán kính R. Tại điểm cách tâm gương một đoạn x, pháp tuyến đã nghiêng đi góc x/R — mà phản xạ thì khuếch đại mọi độ nghiêng của gương lên gấp đôi: tia bật ra lệch thêm 2x/R. Cộng với góc x/L do chính vị trí ấy tạo ra khi nhìn từ mắt cách gương L, mép gương tại x = w/2 hất tầm mắt bạn ra tới:
FOV = w · (1/L + 2/R) (radian; gương phẳng là R → ∞)Gương cạnh cửa rộng w = 15 cm, mắt cách L = 0,6 m: nếu phẳng nó cho 14,3°, đúng bằng bề rộng chia khoảng cách. Uốn cong bán kính R = 1,0 m, vẫn tấm kính ấy mở ra 31,5°. Hệ số nhân không dính gì tới bề rộng gương — nó rút gọn thành một biểu thức trần trụi, 1 + 2L/R, ở đây bằng 2,20.
Hoá đơn ghi đúng con số 2,20 ấy
Gương lồi cho ảnh ảo nhỏ hơn vật, hệ số thu nhỏ
m = (R/2) / (u + R/2)Chiếc xe cách gương u = 10 m: m = 0,5/10,5 = 1/21, ảnh bé đi 21 lần. Nhưng não bạn không đo cái ảnh trên mặt kính, nó đo góc. Vậy hỏi ngược: một chiếc xe thật phải lùi ra bao xa để trong gương phẳng cũng trông bé đúng chừng ấy? Đại số rút gọn đến mức khó tin:
u biểu kiến = u · (1 + 2L/R)Đúng cái hệ số vừa nhân tầm nhìn. Chiếc xe cách 10 m hiện ra như đang cách 22 m. Mở góc 2,2 lần thì đẩy mọi thứ ra xa 2,2 lần — cùng một độ nghiêng pháp tuyến 2x/R, đọc theo hai hướng.
Nhỏ 21 lần, mà chỉ “xa” thêm 2,13 lần
21 và 2,2 lệch nhau gần chục lần, và chỗ lệch nằm ở nơi cái ảnh đứng. Ảnh ảo của chiếc xe không lùi ra sau gương 10 m; nó nằm sau lớp kính đúng 47,6 cm. Mắt bạn cách nó 1,08 m thay vì 10,6 m — gần hơn 9,85 lần, bù lại gần hết 21 lần thu nhỏ. Phần dư, 2,13 lần, mới là mức chiếc xe teo đi trên võng mạc.
Chính chỗ đó gương lồi đánh mất chiều sâu: u chạy từ 2 m ra 30 m mà ảnh chỉ trườn từ 40,0 cm ra 49,2 cm sau kính — cả 28 mét đường nén vào 9,2 cm. Vật càng xa càng dồn về mặt phẳng cách kính R/2 = 50 cm, và bộ não vốn suy khoảng cách từ kích thước góc không còn manh mối nào tách 20 m khỏi 30 m.
Dòng chữ in trên gương là cảnh báo về thời gian
Mỹ xử lý bằng luật: FMVSS 111 buộc gương bên lái của xe con phải phẳng, chỉ bên phụ được lồi, bán kính không dưới 889 mm, và phải khắc câu “Objects in mirror are closer than they appear”. Châu Âu cho lồi cả hai bên nhưng siết độ cong — ECE R46 đòi R ≥ 1 200 mm cho gương ngoài chính, kéo hệ số xuống đúng 2,00.
Đơn vị đáng sợ ở đây không phải mét mà là giây. Chiếc xe máy vượt phải với tốc độ tương đối 30 km/h: bạn đọc “22 m” rồi nhẩm mình còn 2,6 giây, trong khi nó cách 10 m, tức 1,2 giây — ngắn hơn cả quãng phản xạ trước khi má phanh kịp chạm đĩa.
Trường hợp biên: R ra vô cùng, rồi co về 0,4 m
Cho R → ∞ thì số hạng 2/R biến mất và 1 + 2L/R về đúng 1: công thức tự trả lại gương phẳng, 14,3°, khoảng cách biểu kiến bằng khoảng cách thật — đó là lý do gương trong xe, nhìn thẳng qua kính hậu nên chẳng cần mở góc, gần như luôn phẳng.
Đầu kia dữ dội hơn. Miếng gương tròn dán ở góc gương chính, bán kèm lời hứa “xoá điểm mù”, có R cỡ 0,4 m: tầm nhìn vọt lên 57,3°, đổi lại hệ số thành 4,0 — chiếc xe máy cách 30 m hiện ra bé đúng bằng một chiếc cách 120 m, vỏn vẹn 0,71° chiều cao, cỡ góc mà não xếp thẳng vào ngăn “xa, chưa cần bận tâm”. Lời hứa cũng hão nốt: gương chỉ mở góc trong mặt phẳng của riêng nó, còn vùng khuất sau cột B, sau vai bạn, sau chính cái khung gương thì không bán kính cong nào với tới. Muốn xoá điểm mù thật vẫn phải quay đầu — nửa giây mà chưa tấm kính cong nào trên đời thay thế nổi.