Bạn xách xô nước ra sân. Đi vài bước, nước bắt đầu sánh — không lung tung mà sánh đều, đúng nhịp, mỗi lúc một mạnh, tới lúc ướt ống quần. Cùng buổi sáng ấy bạn bưng cốc cà phê đầy đi hết hành lang không rớt giọt nào. Cái xô không vụng hơn cái cốc — nó chỉ có một con số xui hơn:
Mặt nước cũng là một con lắc
Mặt thoáng trong bình tròn không lắc tuỳ tiện. Dạng dễ kích nhất — phản đối xứng bậc một — là một bên dâng thì bên kia hạ, tâm bình đứng yên như bản lề. Trọng lực kéo chỗ dâng xuống, quán tính đẩy quá đà sang phía đối diện — đúng cơ chế con lắc, với “quả nặng” là cả khối nước. Tần số phụ thuộc bán kính bình và độ sâu:
ω² = g·(1,8412/R)·tanh(1,8412·h/R) f = ω/(2π)Con số 1,8412 là nghiệm đầu tiên của đạo hàm hàm Bessel J₁ — thứ quy định mặt nước cong thế nào dọc bán kính. Cần nhớ một điều — bình càng rộng, nước lắc càng chậm.
1,74 Hz gặp 105 bước mỗi phút
Xô nhựa cỡ nhà bạn: đường kính 30 cm, tức R = 15 cm, nước sâu 25 cm. Thay số ra f = 1,74 Hz — 105 nhịp mỗi phút.
Còn cái đang lắc nó: người lớn đi bộ ở nhịp 96–120 bước mỗi phút, tức 1,6–2,0 bước mỗi giây; mỗi lần bàn chân chạm đất, thân bạn nhận một cú hãm rồi một cú đẩy tới, truyền thẳng xuống quai xô. Và 1,74 Hz nằm chính giữa dải ấy. Đi ở nhịp 1,8 bước/giây, bạn chỉ lệch 3,3% so với tần số riêng của xô — trên một hệ ít tắt dần thì chừng ấy vẫn là cộng hưởng đủ tốt: mỗi bước bồi năng lượng đúng lúc, biên độ cộng dồn tới miệng xô.
Nhìn chỗ đường cong cắt dải xanh: ở độ sâu 25 cm, mọi bình có R từ 11,4 đến 17,7 cm đều rơi trúng nhịp đi bộ — đường kính 23 tới 35 cm, gần đúng định nghĩa của cái xô. Chân người từng làm y hệt vậy với một nhịp cầu thép, dù ở đó cơ chế lại không phải cộng hưởng.
Đổ bớt nước không cứu được bạn
Phản xạ đầu tiên là đổ vơi đi. Gần như vô ích, và hàm tanh nói rõ vì sao: với xô sâu 25 cm, đối số của tanh bằng 3,07, mà tanh(3,07) = 0,996 — bão hoà sát trần. Nước ở đây là nước “sâu” theo nghĩa của sóng: đáy quá xa mặt thoáng để còn tiếng nói nào.
Nên đổ từ 25 cm xuống 10 cm — bỏ đi 60% lượng nước — chỉ hạ tần số từ 1,74 xuống 1,60 Hz, tức 8%. Xách nhẹ hơn hẳn mà vẫn nằm nguyên ở mép dải nguy hiểm. Muốn xuống hẳn dưới 1,6 Hz, mực nước phải còn dưới 9,9 cm — cái ngưỡng mà xô hết còn là xô.
Cốc cà phê thoát bậc một, không thoát bậc hai
Cốc R = 4 cm, cà phê sâu 8 cm cho f = 3,38 Hz, gần gấp đôi cái xô và nằm ngoài dải đi bộ hẳn. Chuyện bạn không rớt giọt nào là thật — chỉ là chữ “an toàn” có điều kiện.
Cú đạp chân không phải hình sin trơn tru: phổ gia tốc của nó mang một hài bậc hai rõ rệt ở gấp đôi nhịp bước. Mà 3,38 chia hai bằng 1,69 bước/giây — 101 bước mỗi phút, một nhịp đi bộ tầm thường. Đó là lý do cà phê sánh đúng lúc bạn bước hụt hay rẽ gấp: cú nhiễu ấy bơm vào hài bậc hai. Kéo thanh nhịp lên 3,0 bước/giây — nhịp chạy bộ 180 bước mỗi phút — thì cốc rơi vào cộng hưởng bậc một, lệch 11%.
Trường hợp biên: đổ gần cạn thì sóng đổi luật chơi
Kéo độ sâu xuống 3 cm, công thức không sai — nó biến thành một công thức khác. Khi h nhỏ so với R thì tanh(x) ≈ x, và cái tanh nuốt mất R:
ω² ≈ g·k²·h → v = ω/k = √(g·h)Tần số thôi bão hoà, bắt đầu tụt theo √h. Quan trọng hơn, mặt nước đổi hẳn dạng: thành sóng nước nông chạy ngang — một gợn đi từ thành này sang thành kia với tốc độ √(gh), ở 3 cm là 0,54 m/s, băng qua lòng xô 30 cm hết 0,55 giây. Đúng công thức của sóng thần thu nhỏ cỡ cái xô. Xô cạn 3 cm cho f = 1,04 Hz — cuối cùng cũng thoát dải bước chân, bằng cách vứt đi phần lớn nước.
Ở đầu ngược lại, công thức không gãy mà biến mất. Đậy nắp có lỗ là xoá điều kiện biên mặt thoáng tự do mà cả bài toán dựa vào — không còn mặt thoáng thì không còn dạng bậc một để mà bơm. Chiếc nắp nhựa trên ly cà phê mang đi vì thế không chắn nước bắn: nó tháo mất con lắc. Mẹo thả tàu lá lên xô nước khi gánh đường xa cũng vậy, cùng một điều kiện biên nói bằng thứ tiếng cũ hơn nhiều.