Một hình chữ nhật có thể cao và hẹp, hoặc thấp và rộng, mà diện tích không đổi lấy một milimét vuông. Áp suất và thể tích của một khối khí giữ nguyên nhiệt độ cư xử đúng như hai cạnh ấy: ép pít-tông vào, cạnh này ngắn đi bao nhiêu lần thì cạnh kia dài ra bấy nhiêu lần. Định luật Boyle chỉ là câu đó viết bằng ký hiệu — và trong demo dưới đây, nó đúng là một hình chữ nhật không chịu đổi diện tích.
Nén xi lanh mà không cho nó nóng lên: pV = hằng số
Định luật Boyle có hai điều kiện, cả hai đều dễ mất mà khó thấy: khí phải là một lượng xác định — xi lanh không rò, không ai bơm thêm — và nhiệt độ phải giữ nguyên. Quá trình thoả cả hai gọi là đẳng nhiệt, và khi đó áp suất tỉ lệ nghịch với thể tích:
pV = hằng số, dạng hai trạng thái quen dùng khi giải bài: p₁V₁ = p₂V₂
Khối khí trong demo, ở vị trí mặc định, là một mol ở 300 K, và hằng số của nó là 2 494,2 kPa·L. Ở 24,6 L nó đẩy vào thành xi lanh 101,4 kPa; nén còn 12,3 L thì lên 202,8 kPa; buông cho giãn tới 49,2 L thì tụt về 50,7 kPa. Nhân từng cặp, cả ba đều ra 2 494. Hình chữ nhật mờ dưới điểm làm việc chính là tích ấy vẽ thành diện tích: kéo thanh thể tích, nó dẹt ra rồi cao lên mà diện tích không đổi.
Hằng số đó thuộc về khối khí này, ở nhiệt độ này, không phải một hằng số của tự nhiên: gấp đôi lượng khí lên 2 mol thì tích pV thành 4 988,4 kPa·L, tức một hyperbol khác. Cụm nRT ở vế phải thuộc về bài phương trình khí lý tưởng pV = nRT.
Bảng số của một xi lanh, và cột thứ ba
Lấy một xi lanh có hằng số 600 kPa·L cho tròn — ở 300 K thì đó là 0,2406 mol khí. Cột thứ ba là cột mà các tài liệu đều bỏ qua:
| V (L) | p = 600/V (kPa) | 1/V (1/L) |
|---|---|---|
| 2 | 300,0 | 0,5000 |
| 3 | 200,0 | 0,3333 |
| 4 | 150,0 | 0,2500 |
| 6 | 100,0 | 0,1667 |
| 12 | 50,0 | 0,0833 |
Chia ba thể tích, từ 6,0 L xuống 2,0 L, thì áp suất nhân ba: 100 kPa thành 300 kPa. Còn lấy cột hai chia cột ba — 300/0,5 rồi 200/0,3333 — cả năm dòng đều trả về 600, mấy con số lẻ ở đuôi chỉ là do cột 1/V đã làm tròn.
Vì sao đường thẳng đáng tin hơn hyperbol
Gọi C là hằng số pV rồi đặt x = 1/V, định luật thành p = C·x. Đó là y = ax, đường thẳng đi qua gốc toạ độ với hệ số góc bằng chính C. Cùng bấy nhiêu điểm, không sửa số nào, mà trên p–V thì cong còn trên p–(1/V) thì thẳng. Đó là lý do một phép đo Boyle tử tế hiếm khi dừng ở đồ thị p–V: chấm lại đúng bộ số ấy lên trục 1/V thì cả bài kiểm chứng rút xuống hai câu trả lời được bằng cây thước — có thẳng không, và có đi qua gốc toạ độ không.
Một đường cong đi qua năm điểm thì đường cong nào cũng đi được, và mắt không phân biệt nổi 1/V với 1/V^(1,05). Một đường thẳng thì kiểm được độ thẳng và giao điểm — và giao điểm mới là chỗ bắt lỗi. Nếu các điểm thẳng hàng nhưng đường không qua gốc, định luật vẫn đúng còn phép đo có một lượng thừa cố định. Hay gặp nhất là đồng hồ đo áp suất dư thay vì áp suất tuyệt đối: số nó chỉ bằng C·x − 101,3 kPa, vẫn thẳng, vẫn đúng hệ số góc, chỉ cắt trục tung ở dưới gốc đúng một áp suất khí quyển.
Cùng khối khí ấy vẽ trên p–T và V–T ra hình gì thì thuộc bài đồ thị ba đẳng quá trình; khi nhiệt độ cũng được phép đổi, hai trạng thái nối nhau bằng phương trình trạng thái. Cả loạt bài nằm ở Vật lý nhiệt và khí lý tưởng lớp 12.
Đổi đơn vị áp suất trước khi thay số
Đề bài thích trộn đơn vị, và đây là bảng đủ dùng cho cả chương:
| 1 đơn vị | kPa | atm | mmHg |
|---|---|---|---|
| 1 atm | 101,325 | 1,00000 | 760,0 |
| 1 bar | 100,000 | 0,98692 | 750,1 |
| 1 kPa | 1,000 | 0,00987 | 7,5 |
Điều tiết kiệm sức nhất: p₁V₁ = p₂V₂ là phương trình tỉ số, nên đơn vị tự triệt tiêu. Đề cho mmHg thì cứ tính bằng mmHg; chỉ khi con số đi tiếp vào công thức mang hằng số khí mới bắt buộc quy về pascal.
Ba câu tự kiểm
- Xi lanh chứa khí ở 250 kPa, thể tích 1,6 L. Đẩy pít-tông cho thể tích còn 0,5 L, nhiệt độ giữ nguyên. Áp suất bằng bao nhiêu? (pV = 400 kPa·L → p₂ = 400/0,5 = 800 kPa.)
- Một lượng khí 240 mL ở 750 mmHg bị nén còn 200 mL ở cùng nhiệt độ. Áp suất mới bằng bao nhiêu mmHg? (750 · 240/200 = 900 mmHg, tức 120,0 kPa. Không cần đổi đơn vị lần nào.)
- Trên đồ thị p–(1/V) của một khối khí, đường thẳng qua gốc và tại 1/V = 0,25 1/L đọc được p = 150 kPa. Hằng số pV bằng bao nhiêu, và ở 6,0 L thì áp suất là bao nhiêu? (Hệ số góc 150/0,25 = 600 kPa·L; p = 600/6,0 = 100 kPa.)
Trường hợp biên: tích pV không chịu đứng yên nữa
Định luật Boyle không nói về khí bị nén — nó nói về khí bị nén chậm. Ép pít-tông đủ nhanh thì nhiệt sinh ra chưa kịp thoát, khối khí tự nóng lên, và tích pV lớn dần ngay trong lúc bạn đang đo: điểm làm việc rời hyperbol cũ để leo sang hyperbol của một nhiệt độ cao hơn. Đó đúng là chuyện xảy ra trong ống bơm xe nóng tay — cùng một hành trình pít-tông, chỉ khác tốc độ. Điều kiện “nhiệt độ không đổi” không phải câu mở đầu cho có; nó là toàn bộ nội dung.
Nén thật chậm để nhiệt độ đứng yên tuyệt đối thì đường thẳng vẫn cong. Mô hình khí lý tưởng coi phân tử là chất điểm không thể tích riêng và không hút nhau; hai giả thiết ấy hỏng ngược chiều nhau. Lực hút kéo áp suất xuống dưới mức tính được nên đường võng xuống trước: nitơ ở 300 K có tích pV hụt khoảng 0,25% ở 20 atm, và ở 50 atm vết lõm vẫn nông như thế — dưới nửa phần trăm suốt cả dải, chứ không sâu dần theo áp suất. Ép chặt hơn nữa thì thể tích riêng của phân tử lên tiếng, khí khó nén hơn dự đoán và đường vọt ngược lên, cắt lại đúng giá trị lý tưởng trong khoảng 60–80 atm — trùng số vì hai cái sai vừa vặn bù nhau, không phải vì mô hình đã đúng trở lại. Còn ở điều kiện phòng thì chẳng có gì để bù: phân tử chiếm chưa tới 0,2% thể tích bình, và cả hai hiệu ứng cộng lại chưa lệch nổi một phần nghìn. Đó mới là lý do định luật Boyle trông chính xác đến thế trên bàn thí nghiệm.
Xa hơn nữa thì không còn gì để cong: tới ngưỡng ngưng tụ, khí hoá lỏng và tích pV mất luôn ý nghĩa hằng số — không phải vì phép đo hỏng, mà vì thứ trong xi lanh đã thôi làm chất khí.