Ba đẳng quá trình đều đòi cùng một điều kiện: phải có một đại lượng chịu đứng yên. Đời thật ít khi chiều — khí trong xi lanh vừa bị nén vừa nóng lên, gói bim bim mang lên máy bay gặp cả áp suất thấp lẫn cabin mát hơn. Khi cả ba con số cùng chạy thì vẫn còn đúng một thứ không đổi. Đặt trạng thái 1, đổi hai đại lượng của trạng thái 2, rồi xem đại lượng thứ ba thôi không còn là lựa chọn của bạn.
Một tỉ số sống sót khi cả ba đại lượng cùng đổi
Trạng thái của một khối khí được mô tả bằng ba con số p, V và T. Chúng không tự do: với cùng những phân tử ấy, không thêm không bớt, tổ hợp pV/T luôn cho ra một con số duy nhất, dù bạn đưa khí đi qua đâu. Viết cho hai trạng thái bất kỳ:
p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Thử bằng số của demo. Trạng thái 1: 1,0 atm, 2,0 L, 300 K. Nén lên 2,0 atm rồi nung tới 400 K. Rút V₂ ra:
V₂ = p₁V₁T₂ / (T₁p₂) = 1,0 × 2,0 × 400 / (300 × 2,0) = 1,333 L
Kiểm hai đầu: 1,0 × 2,0 / 300 = 6,667×10⁻³ và 2,0 × 1,3333… / 400 cũng bằng 6,667×10⁻³ atm·L/K. Hai thanh ngang trong demo dài bằng nhau chính là hình của phép kiểm đó. Con số ấy là của riêng khối khí này — lấy nhiều khí hơn thì nó lớn lên — và nó phụ thuộc vào cái gì thì thuộc về bài phương trình Clapeyron và thang Kelvin. Ở đây chỉ cần biết nó không đổi.
Đi từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 bằng hai chặng
Vì sao tỉ số ấy tồn tại? Không cần chứng minh mới — chỉ cần đi bằng hai chặng mà mỗi chặng đã có một bài riêng.
Chặng một, giữ nhiệt độ. Ở nguyên 300 K, nén từ 1,0 atm lên 2,0 atm. Tích pV không đổi nên thể tích tụt từ 2,0 L xuống 1,000 L: điểm rỗng màu lục trong demo, và là định luật Boyle cho quá trình đẳng nhiệt. Trên p–V, chặng này bò dọc nhánh hyperbol.
Chặng hai, giữ áp suất. Đứng yên ở 2,0 atm, nung từ 300 K lên 400 K. Tỉ số V/T không đổi nên thể tích nở từ 1,000 L lên 1,333 L: định luật Charles cho quá trình đẳng áp, và trên p–V là đoạn nằm ngang màu lục.
Ghép hai phép nhân: V₂ = V₁ × (p₁/p₂) × (T₂/T₁), chuyển vế là ra p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Phương trình trạng thái không phải định luật thứ tư; nó là hai định luật cũ nhân với nhau.
Đi lối khác cũng vậy: giữ 2,0 L mà nung lên 400 K trước, áp suất lên 1,333 atm, rồi ở 400 K nén tới 2,0 atm — vẫn 1,333 L. Phương trình chỉ phát biểu về hai đầu mút.
Che một chữ đi là ra ba định luật quen
Đây là mẹo nhớ đáng giá nhất của cả chương: không cần thuộc ba công thức riêng, chỉ cần thuộc một cái rồi rút gọn.
- T₁ = T₂ ⇒ nhiệt độ triệt tiêu ⇒ p₁V₁ = p₂V₂, đẳng nhiệt.
- p₁ = p₂ ⇒ áp suất triệt tiêu ⇒ V₁/T₁ = V₂/T₂, đẳng áp.
- V₁ = V₂ ⇒ thể tích triệt tiêu ⇒ p₁/T₁ = p₂/T₂, quá trình đẳng tích.
Ba tấm ảnh của ba trường hợp ấy nằm cạnh nhau trong bài đồ thị đẳng nhiệt, đẳng áp, đẳng tích; cả loạt bài ở trang Vật lý nhiệt và khí lý tưởng lớp 12.
Chỉ nhiệt độ mới bắt buộc đổi đơn vị
Áp suất xuất hiện ở cả hai vế, thể tích cũng vậy, nên hệ số đổi đơn vị của chúng rút gọn mất: chúng chỉ cần khớp nhau giữa hai trạng thái — atm ở vế trái thì atm ở vế phải, mL ở vế trái thì mL ở vế phải. Đổi hết sang pascal và mét khối cũng ra đúng con số ấy, chỉ mất thêm hai phép nhân.
Nhiệt độ thì không, vì cái ta lấy là tỉ số T₂/T₁, mà tỉ số chỉ có nghĩa trên thang có số 0 thật. Ví dụ trên đặt thẳng bằng kelvin: 300 K và 400 K, tức nhiệt kế chỉ 26,85 °C và 126,85 °C; cắm hai số Celsius ấy vào sẽ ra 4,724 L thay vì 1,333 L. Đề bài cho tròn 27 °C thì T₁ là 300,15 K chứ không phải 300 K — xem câu tự kiểm 2. Cái bẫy này đã được mổ bằng số thật ở bài đẳng tích phía trên; ở đây chỉ cần một luật: đổi T sang kelvin trước, mọi thứ khác giữ nguyên.
Túi bim bim trên máy bay: cả p lẫn T cùng đổi
Gói snack hàn kín ở mặt đất, 101,3 kPa và 30 °C, theo bạn lên cabin giữ ở 75 kPa và 22 °C. Lớp màng hàn kín giữ nguyên lượng khí bên trong, nên đây đúng là bài toán hai trạng thái.
V₂/V₁ = (p₁/p₂) × (T₂/T₁) = 1,3507 × 0,9736 = 1,315
Túi phồng thêm khoảng 31,5%. Chỉ nhìn áp suất mà quên nhiệt độ thì ra 1,351 — cao hơn 2,7%, vì cabin mát hơn mặt đất đã kéo lại một phần. Cột áp suất theo độ cao ở đâu ra thuộc về bầu trời và hàm mũ của nó; khối khí trong túi phản ứng thế nào là phần của bài này.
Ba câu tự kiểm
- Xi lanh chứa 3,0 L khí ở 100 kPa và 300 K, bị nén còn 1,5 L và áp suất tuyệt đối lên 250 kPa. Nhiệt độ cuối bằng bao nhiêu? (T₂ = T₁p₂V₂/(p₁V₁) = 300 × 250 × 1,5 / (100 × 3,0) = 375,0 K, tức 101,85 °C. Tỉ số pV/T bằng 1,0000 kPa·L/K ở cả hai đầu.)
- Khối khí 5,0 L ở 200 kPa và 27 °C bị nén còn 4,0 L đồng thời nung tới 87 °C. Áp suất mới? (T₁ = 300,15 K, T₂ = 360,15 K → p₂ = 200 × 5,0 × 360,15 / (300,15 × 4,0) = 300,0 kPa.)
- Đề cho 250 mL khí ở 760 mmHg và 290 K, nén tới 1 520 mmHg ở 310 K. Có phải đổi mmHg sang pascal và mL sang mét khối không? (Không — hai đơn vị ấy rút gọn: V₂ = 760 × 250 × 310 / (290 × 1 520) = 133,62 mL.)
Trường hợp biên: giữa hai trạng thái có thể không tồn tại trạng thái nào
Phương trình này nói về trạng thái, không nói về quá trình — và chữ “trạng thái” mang theo một giả thiết dễ trôi tuột: cả khối khí phải có chung một áp suất và chung một nhiệt độ, mỗi thứ đúng một con số. Điều đó chỉ đúng khi khí đã kịp cân bằng.
Đẩy pít-tông thật nhanh thì giả thiết ấy vỡ. Lớp khí sát mặt pít-tông bị dồn lại và nóng lên trong khi lớp ở đầu kia chưa hay biết gì; áp suất lúc đó là một trường trải trong không gian, không phải một số. Không có bộ ba p, V, T nào để chấm lên đồ thị, nên hai chặng gọn ghẽ mà demo vẽ ra là câu chuyện kể lại chứ không phải chuyến đi có thật — và với một vụ nổ, ngay cả hai đầu mút cũng phải chờ khí lặng xuống mới có nghĩa.
Cả khi đã cân bằng, tỉ số pV/T vẫn không bất tử: nó rút ra từ mô hình coi phân tử là chất điểm không chiếm chỗ và không hút nhau. Ép mạnh hoặc làm lạnh sâu thì tỉ số bắt đầu trôi, rồi tới ngưỡng ngưng tụ hyperbol gãy thành một đoạn nằm ngang và pV/T tụt hẳn — phần khí hoá lỏng đã rời khỏi phép tính, dù không phân tử nào thoát ra ngoài bình.