Đứng dưới chân cầu thang, vỗ một tiếng tay thật gọn. Thứ dội lại không phải tiếng vỗ tay: một tiếng “chíu” ngắn, có cao độ hẳn hoi, và trượt xuống trong chớp mắt. Không ai gảy đàn — hai mươi bậc thang vừa hát:
Hai mươi bậc, hai mươi mốt tiếng vọng, cách nhau 1,66 ms
Mỗi mép bậc là một vật tán xạ: tiếng vỗ tay chạm vào rồi bật ngược về tai bạn. Mép thứ n cách bạn d + n·w theo phương ngang và n·h theo phương đứng, nên đường đi khứ hồi của nó là
P_n = 2·√((d + n·w)² + (n·h)²)Một vế thang 20 bậc 28 × 17 cm trả về 21 tiếng vọng, mỗi mép một cái. Đứng cách 3 m, tiếng đầu về sau 17,5 ms, tiếng cuối sau 53,9 ms — cả chùm gói trong 36 ms. Các bậc cách đều nhau nên chùm ấy gần như tuần hoàn: khe giữa hai tiếng đầu là 1,66 ms, khe cuối 1,88 ms. Với chuỗi lặp nhanh cỡ đó tai chỉ biết làm một việc — nghe ra cao độ: 1 chia cho khe đầu tiên ra 603 Hz, rồi tụt dần theo từng bậc.
Vì sao nốt trượt xuống, và cái sàn của nó là nốt Đô
Khe ấy không phải hằng số. Đạo hàm P theo n gọn đến bất ngờ: mỗi bậc cộng vào đường đi đúng 2(w·cosθ + h·sinθ), với θ là góc bạn phải ngẩng lên để nhìn bậc đó.
Bậc dưới cùng nằm gần ngang tầm chỗ vỗ tay: θ → 0, chỉ bề rộng mặt bậc được tính, mỗi bậc thêm 2w = 56 cm — trần của cả trò này, 343/0,56 = 612 Hz. Càng lên cao θ càng lớn; nếu thang đủ dài để tia chạy dọc mặt dốc (θ = 31°) thì mỗi bậc thêm 2·√(0,28² + 0,17²) = 65,5 cm — sàn 524 Hz. Cú trượt luôn bị kẹp giữa hai con số ấy, không bao giờ chạm tới đầu nào.
Thang bình quân luật đặt Đô5 ở 523,25 Hz; cái sàn 523,6 Hz của cầu thang lệch 1 cent, dưới ngưỡng nghe của cả người chỉnh đàn. Khoảng trần–sàn rộng 272 cent, thiếu 28 cent nữa là tròn một quãng ba thứ; hai mươi bậc thật, nhìn từ 3 m, đi được 219 cent trong đó — từ 603 Hz xuống 531 Hz. Và nó không phải hiệu ứng Doppler: không gì chuyển động cả, chỉ hình học đổi dần theo từng bậc.
Cầu thang càng dốc, cú trượt càng dài
Giữ mặt bậc 28 cm rồi kéo thanh chiều cao. Bậc 10 cm nâng sàn lên 577 Hz, cú trượt còn 83 cent — chưa tới nửa cung, nghe gần như một nốt. Bậc 25 cm dìm sàn xuống 457 Hz: 413 cent, quá một quãng ba trưởng. Bề rộng thì quyết định trần một mình — 20 cm đẩy trần lên 858 Hz, 36 cm hạ xuống 476 Hz.
Vì thế trò này nổi tiếng nhờ một cầu thang khác: kim tự tháp El Castillo ở Chichén Itzá dốc 46°, bậc cao ~26 cm mà mặt bậc chỉ ~25 cm — và có tới 91 bậc, thừa dài để bám sát cái sàn 475 Hz. Tiếng vỗ tay ở đó, vẫn đứng cách 3 m, trượt từ 659 Hz xuống 476 Hz — 561 cent, gần trọn nửa quãng tám, và du khách nào cũng được kể rằng đó là tiếng chim quetzal.
Bạn đứng ở đâu, tay bạn cao bao nhiêu
Lùi ra xa là ép mọi tia về phương ngang: ở 12 m nốt mở đạt 610 Hz, chỉ 7 cent dưới trần; đứng sát 1 m thì tia lên bậc đầu đã chếch, nốt mở tụt còn 589 Hz. Nhưng lùi xa phải trả bằng chính cú trượt: 20 bậc nhìn từ 12 m chỉ trượt 151 cent, so với 219 cent ở 3 m.
Còn một nút vặn không có trên demo, vì demo giả thiết bạn vỗ sát mặt sàn: độ cao đôi tay. Vỗ ngang ngực (1,4 m), các bậc dưới nằm thấp hơn tay bạn, θ âm, hiệu đường đi ngắn hơn cả 2w — nốt mở vọt lên 891 Hz, cú trượt dài ra 829 cent, gấp 3,8 lần. Muốn nghe đúng cái nốt của cầu thang thì ngồi xổm mà vỗ.
Trường hợp biên: hét một tiếng thì cầu thang câm
Cả trò này sống nhờ một bất đẳng thức: xung âm phải ngắn hơn cái khe 1,66 ms. Tiếng vỗ tay có xung chính rộng cỡ 1 ms — vừa đủ lọt. Hét “a” 300 ms thì tiếng hét dài gấp tám lần cả chùm vọng, cả 21 tiếng vọng chồng lên nhau gần như suốt tiếng hét: chuỗi tuần hoàn bị bôi nhoè thành tiếng vang đúng nghĩa Sabine.
Đầu kia còn câm hơn. Đẩy khoảng cách ra 12 m trước một cầu thang thoải — bậc 36 × 10 cm — và cả 20 bậc chỉ trượt 38 cent, chưa bằng một phần tư cung. Tam giác vuông trong công thức đã duỗi gần thẳng: mọi tia nằm ngang, h không còn được tính vào đâu. Cầu thang thôi làm nhạc cụ, chỉ còn là cái thước đo bề rộng mặt bậc — nó trả về đúng cái trần 343/0,72 = 476 Hz, phẳng lì.