Một phân tử không khí đập vào thành bình rồi bật ra, trung bình để lại 3,54×10⁻²³ kg·m/s động lượng — nhỏ tới mức không dụng cụ nào đo nổi. Nhưng mỗi ô vuông 1 cm² của thành hứng 2,86×10²³ cú như thế mỗi giây, và hai luỹ thừa gần như triệt tiêu nhau: còn lại 10,14 N, sức nặng của một vật 1,03 kg đè lên đầu ngón tay. Áp suất khí quyển là hoá đơn cộng dồn của những cú ấy.
Bốn giả thiết dựng nên mô hình
Mô hình không mô tả từng phân tử — 24,6 L khí đã chứa 6,02×10²³ phân tử. Nó giữ bốn giả thiết, mọi thứ còn lại là hệ quả:
- Phân tử là chất điểm: thể tích riêng bỏ qua được so với thể tích bình.
- Giữa hai lần va chạm, phân tử chuyển động thẳng đều; không lực nào tác dụng lên nó.
- Chúng chuyển động hỗn loạn không ngừng, không hướng nào được ưu ái.
- Va chạm với thành và với nhau hoàn toàn đàn hồi, tức không mất một chút động năng nào.
Một cú va chạm trao đi bao nhiêu
Giả thiết cuối là chỗ áp suất ra đời. Đặt trục x vuông góc với thành. Phân tử khối lượng m tới với vận tốc v_x rồi bật ngược lại đúng tốc độ ấy: động lượng theo x đổi từ +mv_x thành −mv_x, nên thành nhận được
Δp = 2mv_x
Trong 1 giây, số phân tử kịp đập vào diện tích A nằm trong khối trụ dài v_x dựng trước nó, và chỉ một nửa bay về phía thành: ½·(N/V)·A·v_x. Lực là động lượng trao đi mỗi giây:
F = ½·(N/V)·A·v_x × 2mv_x = (N/V)·A·m·v_x² → p = (N/V)·m·v_x²
Bước cuối là đối xứng: hỗn loạn nên ba trục ngang nhau, mà v̄² = v_x² + v_y² + v_z², vậy v_x² = v̄²/3:
p = (1/3)·(N/V)·m·v̄²
Tích m·(N/V) là khối lượng riêng ρ, nên cùng câu ấy viết gọn thành p = (1/3)·ρ·v̄².
Số cú đập thật là bao nhiêu
Phép đếm trên giả vờ mọi phân tử cùng một v_x, nên ½·(N/V)·A·v_x lẫn 2mv_x đều không phải giá trị thật — chúng chỉ đúng khi đã nhân với nhau. Số cú đập thật lên một đơn vị diện tích dùng tốc độ trung bình ⟨v⟩ = √(8kT/πm), hệ số ¼ đến từ trung bình mọi hướng bay tới:
Φ = ¼ · (N/V) · ⟨v⟩
còn mỗi cú trung bình chỉ trao 4kT/⟨v⟩. Phép đếm quy ước đếm thừa √(π/2) = 1,25 lần, mỗi cú lại nhẹ đi đúng 1,25 lần, nên p không đổi — nhưng ai trích riêng một con số ở giữa là trích trúng con số sai.
Một centimet vuông thành bình, tính bằng số
Không khí ở 300 K, mốc quen của cả chương: một mol trong 24,6 L:
| đại lượng | giá trị |
|---|---|
| mật độ phân tử N/V | 2,448×10²⁵ phân tử/m³ |
| khối lượng một phân tử m | 4,82×10⁻²⁶ kg |
| tốc độ trung bình ⟨v⟩ = √(8kT/πm) | 468,0 m/s |
| số va chạm trên 1 cm² mỗi giây Φ | 2,86×10²³ |
| động lượng trung bình mỗi cú 4kT/⟨v⟩ | 3,54×10⁻²³ kg·m/s |
| lực trên 1 cm² | 10,14 N |
Hàng cuối đáng nhìn lâu: 10,14 N trên 1 cm² tức 101,4 kPa, đúng một atmosphere — và chỉ là tích của hai hàng trên.
Nhiệt độ đo cái gì: Ē_đ = (3/2)kT
Đặt cạnh nhau hai cách viết áp suất của cùng một khối khí rồi rút gọn:
(1/3)·N·m·v̄² = nRT → (1/2)·m·v̄² = (3/2)·(R/N_A)·T
Tỉ số R/N_A là hằng số Boltzmann k = 1,380649×10⁻²³ J/K, vế trái là động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử:
Ē_đ = (3/2)kT
Ở 300 K là 6,21×10⁻²¹ J mỗi phân tử, tức 3 741 J mỗi mol.
Câu này đắt hơn vẻ ngoài. Vế phải không nhắc khí gì: nhiệt độ tuyệt đối chỉ đo động năng tịnh tiến trung bình. Hydro và không khí ở cùng 300 K có cùng một Ē_đ, chỉ tốc độ là khác vì khối lượng khác — v_rms = √(3RT/M) cho 1 934 m/s với hydro và 508 m/s với không khí, tỉ số 3,81 đúng bằng √(29/2). Sau con số trung bình ấy còn cả một phân bố tốc độ trải rộng.
Chữ tịnh tiến là hàng rào: nhiệt độ không nói gì về năng lượng dao động và quay của phân tử, mà chính phần ấy khiến nhiệt dung riêng mỗi chất một khác.
Phép kiểm chéo đáng giá nhất của chương
Một mol không khí ở 300 K trong 24,6 L, tính áp suất bằng hai lối rời nhau:
- đếm va chạm: p = (1/3)·(N/V)·m·v̄² = 101,40 kPa, dùng k và N_A
- đo đạc thực nghiệm: p = nRT/V = 101,39 kPa, dùng hằng số khí R
Lệch 0,006 %, và phần lệch ấy cũng có lý do sạch sẽ: tra bảng thì R = 8,314 J/(mol·K) đã làm tròn, trong khi k·N_A = 8,3145. Hai con đường không dùng chung một hằng số nào mà gặp nhau ở chữ số thứ năm. Trong demo, cột đỏ dựng từ chuỗi va chạm còn vạch ngang bên cạnh là nRT/V — kéo thanh trượt kiểu gì chúng cũng dính nhau.
Kéo nhiệt độ từ 300 K lên 600 K thì áp suất đi từ 101,40 lên 202,79 kPa, đúng gấp đôi, dù ⟨v⟩ chỉ tăng √2 lần: Φ tăng √2 lần, mỗi cú cũng mạnh thêm √2 lần, hai thừa số nhân nhau ra 2 — đó là lý do vật lý đằng sau chữ T mũ một trong pV = nRT. Cả loạt bài nằm ở Vật lý nhiệt và khí lý tưởng lớp 12.
Ba câu tự kiểm
- Bình khí ở 300 K cho 101,4 kPa. Bơm thêm cho mật độ phân tử gấp rưỡi, nhiệt độ giữ nguyên. Áp suất bằng bao nhiêu? (p tỉ lệ N/V khi T đứng yên → 152,1 kPa.)
- Hai bình giống hệt nhau ở 300 K, một chứa hydro, một chứa không khí. Động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử ở bình nào lớn hơn? (Bằng nhau: Ē_đ = (3/2)kT chỉ phụ thuộc T; chỉ tốc độ khác, 1 934 so với 508 m/s.)
- Giữ nguyên mật độ, hạ nhiệt độ từ 300 K xuống 150 K. Số va chạm mỗi giây và áp suất đổi ra sao? (Va chạm tỉ lệ √T nên còn 0,71 lần; áp suất tỉ lệ T nên còn đúng một nửa, 50,70 kPa.)
Trường hợp biên: phân tử tới thành bị chính đồng loại kéo ngược lại
Ở điều kiện phòng, một phân tử không khí chỉ bay được 67 nm là đâm vào một phân tử khác, gần 7×10⁹ lần mỗi giây. Nghe như đủ phá nát phép đếm trên, nhưng không: va chạm nội bộ xáo lại vận tốc mà không lấy đi năng lượng nào, nên thứ thành bình thấy vẫn y nguyên.
Thứ giết mô hình là lực hút giữa các phân tử. Nén đủ chặt, chúng đến gần tới mức lực hút lên tiếng, và phân tử đang lao về phía thành có đồng loại ở mọi phía trừ phía thành: hợp lực kéo nó ngược vào lòng khí. Nó cập thành chậm hơn giá trị mà (3/2)kT hứa hẹn, trao lại ít động lượng hơn, nên áp suất đo được tụt xuống dưới con số mô hình tính ra. Ép chặt hơn nữa thì tới lượt giả thiết chất điểm gãy: thể tích riêng của phân tử không còn bỏ qua được, chỗ trống để bay ít hơn V, và số va chạm vọt lên trên dự đoán.
Đi hết đường thì chẳng còn gì để hiệu chỉnh. Nén nitơ tới mật độ gấp khoảng 710 lần lúc nó còn là khí ở 300 K, thứ trong bình đã hoá lỏng: thành thôi hứng một trận mưa hạt độc lập mà bị thấm ướt bởi một khối liên tục. Phép đếm va chạm hết chỗ bấu víu, và p = (1/3)ρv̄² không còn sai số — vì không còn đối tượng nào để nói về.